可靠性試驗分析的降階積分法

由于非正態(tài)相關隨機變量可以轉化為正態(tài)獨立隨機變量，本章仍主要討論相互獨立的正態(tài)隨機變量情況的結構的可靠性試驗靈敏度分析。

假設所研究問題包含的維基本變量相互獨立且均服從正態(tài)分布，，和分別為的均值與標準差。以表示極限狀態(tài)函數(shù)，則結構的失效域。以表示基本變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)，則結構的失效概率如式所示。

首先利用式對變量進行標準正態(tài)化

經(jīng)過上式變換后，即為所對應的標準正態(tài)化向量。

一般的，式中聯(lián)合概率密度函數(shù)比較復雜，積分上下限也不明確，特別是在具有多隨機變量時，情況變得更復雜，使積分求解十分困難。利用獨立標準正態(tài)變量空間的幾個重要性質，將隨機變量空間的坐標軸通過下面的公式轉換成極坐標形式后，原來復雜的積分形式變得比較簡潔而富有規(guī)律。

經(jīng)過坐標轉換之后，為了求得具有個隨機變量的維正交標準正態(tài)空間中超球體域的積分精確值，文獻[1]采用歸納的方法，先討論低維變量空間的情況，再得出高維及維變量空間的積分形式。

3.1.1 單模式的降階積分法

3.1.1.1 二維隨機變量時可靠性試驗分析的降階積分法

對于相互獨立的二維隨機變量，標準正態(tài)化后得到，，通過式進行極坐標轉換聯(lián)合概率密度函數(shù)變?yōu)?/span>

把離散為，即，這樣就把整個坐標空間分成個以原點為圓心、為射線角的扇形，它們與失效邊界的交點處的特征半徑記為，如圖5.1所示。記為獨立的二維標準正態(tài)變量空間中以原點為圓心、半徑為的圓形區(qū)域內側的聯(lián)合概率密度函數(shù)的積分（以下類同），則有[1]

圖5.1 單模式的降階積分法示意圖

相應的，記為在上述區(qū)域外側的概率積分（以下類同），有

假設結構的失效域為超球外側的區(qū)域，則結構的失效概率如式所示。

其中表示第個微元體對應的結構的失效概率，以下類同。

若結構的失效域為超球內側的區(qū)域，則結構的失效概率如式所示。

為描述方便起見，下面均假定結構的失效域為超球體外側的區(qū)域，對于失效域為超球體內側區(qū)域的情況可以由式類似地推得。

3.1.1.2 三維隨機變量時可靠性試驗分析的降階積分法

對于相互獨立的三維變量，標準正態(tài)化后得到，，通過式進行極坐標轉換后聯(lián)合概率密度函數(shù)變?yōu)?/span>

與二維的情況類似，把、離散為、，即、，這樣就把三維空間劃分為個以原點為頂點的微棱錐，它們與失效面相交處的特征半徑記為記。則有

其中為標準正態(tài)分布變量的累積分布函數(shù)。

結構的失效域為超球外側的區(qū)域時，結構的失效概率如式所示。

其中為以為半徑的球的表面積，為以為高度的微棱錐在球面上部分的面積，可分別由式和式求得。

其中，、分別為角坐標的起始與終了坐標值。

3.1.1.3 其他維數(shù)隨機變量時可靠性試驗分析的降階積分法

(1) 當變量維數(shù)為偶數(shù)時：

(2) 當變量維數(shù)為奇數(shù)時：

對應于可靠性試驗問題，超球體域外側為失效域時，結構的失效概率為：

其中為以為半徑的超球的體積，為以為高度的微元體的體積。